Trasformazioni 2D
LABORATORIO INTERATTIVO
Imposta il calcolo
RISULTATO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Nei metodi di Gauss mostro il pivot, il calcolo del moltiplicatore, la sostituzione nella formula e la matrice ottenuta.
Pivot utilizzato Coefficiente annullato
Come interpretare il risultato · Determinante, rango e invertibilità
Per una matrice quadrata, det(A) ≠ 0 equivale al rango massimo e all’esistenza dell’inversa. Una matrice rettangolare può avere rango, ma non un determinante complessivo. Gli scambi di righe cambiano il segno del determinante; sommare un multiplo di una riga a un’altra lo conserva.
LABORATORIO INTERATTIVO
Risolvi un sistema lineare
RISOLUZIONE ESATTA
Soluzioni del sistema
Procedimento passo dopo passo
I passaggi rispettano il metodo selezionato. Con Rouché-Capelli si distinguono la matrice A, la matrice aumentata [A | b], i due ranghi e la classificazione, senza risolvere il sistema.
Come interpretare il risultato · Compatibilità non significa soluzione calcolata
Confronto rango(A), rango([A | b]) e numero n delle incognite. Ranghi diversi: nessuna soluzione. Ranghi uguali a n: soluzione unica. Ranghi uguali ma minori di n: infinite soluzioni. Rouché-Capelli classifica; Gauss e Gauss-Jordan possono anche trovare le incognite.
LABORATORIO INTERATTIVO
Studio di un sistema con parametro
Inserisci il parametro reale a nei coefficienti o nei termini noti. Il programma cerca i valori critici e spiega quando il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.
ANALISI PARAMETRICA ESATTA
Analisi dei casi
Procedimento passo dopo passo
Distinguo la matrice dei coefficienti dalla matrice aumentata, studio i minori per riconoscere dove i ranghi possono cambiare e classifico ogni caso. Quando possibile, mostro separatamente le formule di Cramer.
Come interpretare il risultato · Un valore critico va studiato, non scartato
Prima cerco i valori del parametro per i quali il rango può cambiare; poi sostituisco ciascun valore e ricalcolo separatamente rango(A) e rango([A | b]). Non posso dividere per un’espressione che vale zero proprio nel caso critico. Le eventuali radici irrazionali vengono classificate simbolicamente.
LABORATORIO INTERATTIVO
Operazioni con i vettori
Inserisci le componenti dei vettori e scegli un'operazione. Il laboratorio mostra il risultato, i calcoli delle componenti e il significato geometrico quando utile.
1. Imposta i vettori
2. Costruzione grafica
RISULTATO DEL CALCOLO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Ogni passaggio spiega la regola utilizzata e mostra i calcoli con le singole componenti.
Come interpretare il risultato · Dipendenza e angoli
Vettori indipendenti: rango uguale al numero di vettori. Vettori dipendenti: almeno uno è combinazione degli altri. Il prodotto scalare nullo significa ortogonalità, ma l’angolo non è definito se uno dei due vettori è nullo. Il prodotto vettoriale richiede tre componenti.
LABORATORIO INTERATTIVO
Spazi vettoriali e applicazioni lineari
Le colonne di A sono vettori. Studia lo spazio che generano, verifica se un altro vettore vi appartiene o calcola il nucleo dell'applicazione lineare associata.
RISULTATO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Mostro i passaggi di Gauss-Jordan, gli eventuali pivot e le spiegazioni dell’operazione selezionata.
Come interpretare il risultato · Basi di nucleo e immagine
Una base dell’immagine si sceglie fra le colonne della matrice originale corrispondenti ai pivot, non nella matrice ridotta. Una base del nucleo si trova risolvendo Ax=0 e assegnando un parametro a ogni variabile libera. Per A di dimensione m×n vale sempre rango(A) + nullità(A) = n.
LABORATORIO INTERATTIVO
Autovalori, autovettori e diagonalizzazione
Data una matrice quadrata A, calcolo il polinomio caratteristico, individuo gli autovalori, risolvo i sistemi (A − λI)v = 0 e verifico quando esiste una diagonalizzazione.
ANALISI SPETTRALE
Autovalori
Procedimento passo dopo passo
Individuo il polinomio caratteristico, gli autovalori e, quando possibile, le basi degli autospazi. Per la diagonalizzazione controllo l'identità A = PDP⁻¹.
Come interpretare il risultato · Autovalori ripetuti e campi numerici
Per ogni autovalore λ risolvo (A−λI)v=0. La molteplicità geometrica è la dimensione di questo nucleo, non il numero di volte in cui λ compare nel polinomio. La matrice è diagonalizzabile se la somma delle dimensioni degli autospazi è n: specificare sempre se il campo è ℝ oppure ℂ.
LABORATORIO INTERATTIVO
Trasformazioni lineari nel piano
Una matrice 2×2 trasforma i punti del piano, i vettori e le figure. Osserva come cambiano il quadrato unitario, gli assi della base e l'area. Puoi trascinare il vettore nel grafico.
RISULTATO ESATTO
Trasformazione del piano
Procedimento passo dopo passo
Mostro come la matrice agisce sui vettori di base, come calcolo A·u e perché il determinante misura l'area orientata.
Come interpretare il risultato · Area e orientamento
In 2D, |det(A)| è il fattore di scala dell’area. Se det(A)>0 l’orientamento è conservato; se det(A)<0 è invertito. Se det(A)=0 il quadrato collassa e l’orientamento non è definito. Per una rotazione o una riflessione il quadrato resta un quadrato congruente.
LABORATORIO INTERATTIVO
Fattorizzazioni, SVD e minimi quadrati
Scegli un metodo e inserisci la matrice. Gram-Schmidt, LU, QR e minimi quadrati a rango pieno usano frazioni esatte. La SVD e la pseudoinversa utilizzano calcoli numerici approssimati, con verifica degli errori.
CALCOLO ESATTO
Risultato
Procedimento passo dopo passo
Mostro le trasformazioni, i moltiplicatori, le proiezioni e le verifiche. I radicali della QR restano in forma esatta.
Come interpretare il risultato · Ipotesi dei metodi e precisione
LU con pivot verifica PA=LU; anche una matrice singolare può ammettere la fattorizzazione, ma non una soluzione unica di Ax=b. La QR sottile e i minimi quadrati esatti richiedono rango pieno delle colonne. SVD, pseudoinversa e proiettori sono numerici; mostro frazioni esatte solo se certificate dalle identità di Moore-Penrose.
Come funziona il calcolatore?
Calcoli esatti. Le operazioni algebriche usano frazioni: un numero come 1/3 rimane una frazione. Norme e distanze vengono mostrate con radicali quando necessario; gli angoli sono approssimati in gradi.
Matrici e sistemi. Per i determinanti posso applicare Gauss, Sarrus o Laplace; per i sistemi lineari sono disponibili Gauss, Gauss-Jordan, Cramer e Rouché-Capelli. Quest'ultimo classifica il sistema confrontando i ranghi, senza calcolare le soluzioni. I sistemi parametrici distinguono i valori critici del parametro.
Vettori. Posso sommare vettori, calcolare prodotti, norme, distanze, proiezioni, angoli e indipendenza lineare. Le operazioni mostrano le singole componenti; nel piano è disponibile anche una rappresentazione geometrica.
Spazi vettoriali. Calcolo basi, dimensione, appartenenza, nucleo, immagine e verifica del teorema rango-nullità usando l’eliminazione di Gauss-Jordan con passaggi esatti.
Trasformazioni 2D. Il grafico SVG mostra quadrati, griglie, vettori di base e vettori trascinabili prima e dopo la trasformazione, con il ruolo geometrico del determinante e dell’invertibilità.
Autovalori. Studio matrici 2×2 e 3×3, polinomi caratteristici, autospazi, molteplicità e diagonalizzazione. Sono esatti i casi con radici razionali o radicali quadratici; i cubici non fattorizzabili sono presentati con valori approssimati esplicitamente segnalati.
Metodi avanzati. Gram-Schmidt, LU con scambi, QR sottile e minimi quadrati a rango pieno con frazioni esatte. La SVD compatta e la pseudoinversa di Moore-Penrose permettono anche proiettori ortogonali, minimi quadrati a rango non pieno e sistemi sottodeterminati; la SVD utilizza calcoli numerici, mentre le pseudoinverse razionali sono mostrate come esatte solo dopo certificazione. Per i proiettori su sottospazi di R³ è disponibile un grafico orientabile che mostra la componente proiettata e il residuo.