LABORATORIO MATEMATICO · GEOMETRIA

Geometria differenziale delle superfici

Muovi un punto sulla superficie per studiare piano tangente, normale, curvature principali, curvatura gaussiana e curvatura media, con costruzioni e calcoli spiegati.

Le coordinate sono espresse in unità arbitrarie (u). Gli angoli degli input sono in gradi, ma nelle derivate si utilizzano radianti. Il segno delle curvature dipende dall'orientazione della normale: qui si usa n = (rᵤ × rᵥ)/|rᵤ × rᵥ| e II = −n · d²r. Nei punti ombelicali le direzioni principali non sono univoche.

2. Costruzione tridimensionale interattiva

Vista ortogonale ruotabile

Punto mobile e curvature.

Trascina per ruotare la superficie; usa la rotellina o +/− per lo zoom. Muovi u e v oppure premi Avvia P: il grafico verrà portato automaticamente in vista.

Superficie Piano tangente Normale n Direzione k₁ Direzione k₂

3. Come leggere la costruzione

4. Risultati

Aggiornamento immediato

5. Calcoli spiegati

Prima e seconda forma fondamentale

Che cosa puoi studiare

Piano tangente e normale

Derivate parziali, vettori tangenti, prodotto vettoriale e piano tangente a una superficie regolare.

Forme fondamentali

Metrica superficiale, seconda forma fondamentale, elemento di area e curvatura delle sezioni normali.

Curvature delle superfici

Curvature principali, gaussiana e media; punti ellittici, iperbolici e parabolici; superfici minime.

Le curvature dipendono dalla posizione del punto. Il segno di H e delle curvature principali dipende dall'orientazione normale, mentre K non ne dipende. Nelle zone ombelicali non esistono due direzioni principali privilegiate. Le superfici aperte sono rappresentate soltanto su domini limitati.