LABORATORIO MATEMATICO · GEOMETRIA

Quadriche generali e ruotate

Studia una superficie di secondo grado con termini misti xy, xz e yz. Ruota liberamente il piano di taglio e osserva le sezioni, la diagonalizzazione e gli assi principali.

I coefficienti sono numeri reali. Le coordinate sono espresse in unità arbitrarie (u), mentre la matrice quadratica utilizza coefficienti numerici rispetto a u. Le superfici illimitate sono disegnate solo in una porzione finita; le sezioni vengono classificate analiticamente anche con piani inclinati.

1. Definisci la quadrica

Dieci coefficienti reali

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Gyz + Hx + Iy + Jz + K = 0

A · x² B · y² C · z² D · xy E · xz G · yz H · x I · y J · z K · costante

Il coefficiente di xy compare nella matrice come D/2; analogamente per xz e yz. Una rotazione ortogonale elimina i termini misti.

Piano di sezione

Orientamento del piano Quota del piano (u) Sposta il piano 0 u

Esempi:

Rotazione degli assi 3D

Nella vista canonica la quadrica e il piano si orientano progressivamente rispetto agli assi XYZ, senza deformarsi. Puoi anche mostrare la sola rotazione del riferimento.

Mostra la rotazione della quadricaVisualizza il passaggio alla forma canonica (non è una deformazione fisica). Avanzamento 100%

Assi allineati agli autovettori (100%).

2. Grafico tridimensionale interattivo

Superficie e riferimento animati

Quadriche generaliSeleziona un esempio per visualizzare la superficie.

Trascina per ruotare la vista; usa la rotellina o i pulsanti + e − per lo zoom. Avvia porta automaticamente al grafico. Il cursore rappresenta la stessa quadrica nel riferimento mobile: con la relativa opzione attiva ruotano insieme superficie, sezione e assi principali, senza deformazioni. Puoi scegliere anche un piano liberamente orientato con inclinazione, azimut e quota, oppure parallelo agli assi principali U, V o W.

Superficie Piano Intersezione Assi principali

Confronto tra equazioni

Equazione nel riferimento originale

Nel riferimento principale

3. Come leggere la costruzione

4. Risultati

Classificazione completa

5. Calcoli spiegati

Matrice, autovalori, sezioni

Che cosa puoi studiare

Classificazione delle quadriche

Ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi, coni, cilindri e casi degeneri, anche ruotati e traslati.

Diagonalizzazione ortogonale

Autovalori, autovettori, matrice simmetrica 3×3, cambiamento di riferimento e rimozione dei termini misti.

Sezioni piane

Riconoscimento di ellissi, iperboli, parabole, rette, punti e sezioni senza intersezione reale.

Le curve e le superfici illimitate sono disegnate solo in un intervallo finito. La superficie 3D viene approssimata da una triangolazione; le classificazioni e le equazioni risultano invece dal calcolo algebrico. Il piano di sezione può essere parallelo ai piani cartesiani, ai piani principali o avere orientamento arbitrario.